UNIDAD 1. Razones Trigonométricas

TEMA 1. Ángulos y Sistemas de Medición

Ángulos

Un ángulo es la unión de dos rayos o semirrectas con el mismo origen. A las semirrectas se les denomina lados y al origen común se le llama vértice.

Según esta definición, el orden en que se nombran los lados es indiferente. Sin embargo, en el estudio de la trigonometría es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero.

Clasificación de los ángulos
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Los ángulos también se clasifican en positivos y negativos según el giro realizado por el lado terminal. Si el giro que realiza el lado terminal de un ángulo es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; pero si el giro es en el mismo sentido de las manecillas del reloj, entonces el ángulo es negativo.

Ángulos en posición normal

Un ángulo se considera en posición canónica o normal cuando, en un sistema de coordenadas, el vértice del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las X.

Todos los ángulos en posición normal tienen la misma posición para su lado inicial que es el semieje positivo de las X, y es posible que varios ángulos en posición normal tengan el mismo lado terminal; en tal caso se llaman ángulos coterminales.

Sistemas de medición de ángulos
Como todo proceso de medición, medir un ángulo es asignarle un número real que dé información sobre el sentido de la rotación y su cantidad, que corresponde a la rotación del lado terminal del ángulo en su posición normal.

A una rotación completa del lado terminal de un ángulo, en sentido positivo le asignamos el número real 1 que se lee una vuelta o una revolución en sentido positivo.

Los ángulos también se miden en grados y en radianes. El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radián es la medida de los ángulos en el sistema cíclico.

La medida de un ángulo es grados sexagesimales se obtiene al asignar a un ángulo cuya rotación es una vuelta en sentido positivo, el número 360° (grados); a las particiones de una vuelta el número proporcional de grados, y a 1/360 de vuelta 1°.

Para ángulos negativos se asignan los mismos números con signo negativo (-).

Para medir ángulos con mayor exactitud se dispone de minutos y segundos sexagesimales, medidas definidas por:

1° (un grado) = 60´ (sesenta minutos)

1´ (un minuto) = 60´ (sesenta segundos)

Cada vez que ubicamos un ángulo en una circunferencia, haciendo coincidir su vértice con el centro de la circunferencia (ángulo central), sobre ella se demarcan dos arcos. Si estos arcos son desiguales, al menor lo llamaremos arco menor y al mayor de ellos arco mayor. La razón (arco/radio) define la medida en radianes del ángulo correspondiente.

La medida en radianes de una ángulo se obtiene al asignar a un ángulo en sentido positivo cuya longitud de arco es igual al radio de la circunferencia, el número 1 radián (rad); a las particiones posibles de la vuelta, el número proporcional teniendo en cuenta que un ángulo central al dar una vuelta completa, determina un arco de longitud 2πr.

Conexión con la vida

En muchas de nuestras actividades cotidianas se evidencia la presencia de ángulos y la necesidad de conocer la medida de los mismos. Tal es el caso del ángulo con el cual debemos enfocar el rayo de una lámpara para ver mejor un objeto, la medida del ángulo que debe formar con la horizontal un avión para poder superar un obstáculo que se presenta en su ruta de despegue, el ángulo con el cual se acerca un meteorito a la órbita de la tierra para poder conocer la distancia a la cual pasará en su recorrido.

TEMA 2. Triángulos Rectángulos

Clasificación de los triángulos
En el estudio de la geometría hemos clasificado los triángulos de acuerdo con diferentes propiedades; los clasificamos teniendo en cuenta la medida de la longitud de sus lados y de acuerdo con la medida de sus ángulos.

De acuerdo con la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
1. Equiláteros: si sus lados son congruentes.
2. Isósceles: si dos de sus lados son congruentes.
3. Escalenos: si las medidas de sus lados son distintas.

De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
1. Rectángulos: tiene un ángulo recto.
2. Acutángulos: tienen tres ángulos agudos.
3. Obtusángulos: tiene un ángulo obtuso.

De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos cumplen la siguientes propiedades:
1. Todo triángulo equilátero es equiángulo.
2. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes.
3. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

Triángulos rectángulos y teorema de Pitágoras 
En el estudio de la trigonometría, los triángulos rectángulos revisten gran importancia, así como sus propiedades, dentro de las cuales podemos mencionar la más importante de ellas que es el conocido Teorema de Pitágoras. 





Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Conexión con la vida

Una de las mayores aplicaciones que tiene el teorema de Pitágoras está en el cálculo de las distancias; Galileo Galilei utilizó este teorema para determinar la medida de algunas montañas lunares.

TEMA 3. Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo

Algunos problemas de la vida diaria podemos resolverlos mediante el uso de triángulos rectángulos. Por ejemplo, aparecen triángulos rectángulos en el cálculo de la altura de un edificio o de un árbol; el ángulo que forma un avión al despegar con la pista, el que forma una escalera inclinada contra una pared y el piso, entre otros. Para resolver este tipo de problemas es muy útil conocer las razones trigonométricas.

Razón trigonométrica
Una razón trigonométrica es el cociente entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.

Para el triángulo anterior, tomamos como referencia el ángulo α. El cateto b del triángulo, que es uno de los lados del ángulo α, se denomina cateto adyacente; el lado a que está frente al ángulo α es el cateto opuesto.

Las seis razones trigonométricas que se establecen entre las tres longitudes de los lados del triángulo ABC se presentan a continuación.

Conexión con la vida
Los triángulos rectángulos se presentan en una gran variedad de construcciones, como por ejemplo las estructuras de las casas o edificios, los mecanismos de algunas máquinas, o en sistemas de navegación.

TEMA 4. Identidades Trigonométricas Fundamentales

Identidades algebraicas
En el estudio del álgebra hemos analizado, solucionado y aplicado igualdades algebraicas con incógnitas y variables que se cumplen sólo en su conjunto solución; tales expresiones se llaman ecuaciones algebraicas y su conjunto solución puede ser finito o infinito.

En algunos casos, estas igualdades se cumplen para todo valor de la variable, y en esos casos se llaman identidades algebraicas, como por ejemplo 2(x + 1)(x - 1) = 2x² - 2, que es una expresión verdadera para cualquier valor que tome x en el conjunto de los números reales.

Identidades trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad en donde se combinan razones trigonométricas de un ángulo, la cual se cumple para todo valor del ángulo para el cual tenga significado la expresión.

A partir de la definición de las razones trigonométricas, podemos establecer algunas identidades fundamentales.

1. Identidades para razones recíprocas:

Estas identidades son válidas para todo ángulo para el cual seno, coseno y tangente tengan sentido y sean diferentes de cero.

2. Identidades por cociente de razones:

Estas identidades se verifican para todo ángulo para el cual seno y coseno son diferentes de cero.

3. Identidades pitagóricas:
Las identidades que se plantean a continuación se fundamentan en el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos.

El proceso de demostrar o verificar que una expresión trigonométrica es una identidad, equivale a comprobar que ella se cumple para todos los ángulos para los cuales tiene significado o está definida cada una de las razones trigonométricas que aparecen en la expresión. 

Aun cuando no existe un único proceso para realizar esa comprobación se puede:

1. Partir del término de la igualdad más complicado y reducirlo, usando otra identidades, al más sencillo.

2. Reducir ambos términos de la igualdad a un mismo término y aplicar la transitividad de la igualdad.

3. Operar los términos de la igualdad para obtener una de las identidades básicas estudiadas.

Conexión con la vida

Relaciones entre las razones trigonométricas permiten usar diferentes estrategias y rutas para el diseño de estructuras y figuras útiles en las actividades de la vida real, tales como equipos domésticos. 

TEMA 5. Resolución de Triángulos Rectángulos

Desde la antigüedad la trigonometría ha sido usada como herramienta para solucionar problemas en diferentes áreas del conocimiento.

Así muchos problemas relacionados con la navegación, la astronomía, entre otras ciencias; se resuelven a partir del planteamiento y la solución de esquemas relacionados con triángulos.

Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos.

En la resolución de triángulos rectángulos se presentan dos casos:

CASO 1. Se conocen las medidas de un lado y de un ángulo agudo.
En este caso se plantea una ecuación a partir de las razones trigonométricas.

CASO 2. Se conocen las medidas de dos lados.
En este caso, se utilizan las funciones trigonométricas inversas para determinar la medida de los ángulos, y el teorema de Pitágoras para determinar la medida del tercer lado.

Conexión con la vida
Los triángulos rectángulos se presentan en una gran variedad de construcciones, como por ejemplo las estructuras de las casas o edificios, los mecanismos de algunas máquinas, o en sistemas de navegación.