TEMA 1. Funciones Circulares
En diversas ciencias como la biología, la física, la economía, y la ingeniería, es común encontrar fenómenos periódicos cuyo modelo matemático implica el uso de una función periódica.
A comienzos de siglo XIX el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier, descubrió que muchas funciones podían representarse como una suma infinita de funciones de la forma Ancos(nw0t),
Ansen(nw0t). Por tal razón el estudio de las funciones trigonométricas es importante.
En la unidad 1 iniciamos nuestro trabajo en trigonometría definiendo las razones trigonométricas en ángulos agudos considerados en un triángulo rectángulo. Ahora nos preguntamos si es posible extender la definición de estas razones trigonométricas a ángulos que midan 90° o más, π/2 rad o más. Por ejemplo, ¿qué significa sen 135°, cos 180°, tan 1245°, sec 2π o sen 9π/2?
Definición de circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad.
En la anterior figura se muestra la circunferencia unitaria que contiene el punto P(x,y). Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene que para todo punto P(x,y) se cumple que:
x2
+ y2 = 1
Si α es un ángulo en posición normal cuya medida es t radianes, la medida del arco s subtendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria se obtiene mediante:
s = rα, luego s = 1t = t unidades
Por lo anterior, en la circunferencia unitaria, un ángulo de t radianes subtiende un arco de t unidades.
Si a partir del punto (1,0) se mide una distancia t a lo largo de la circunferencia unitaria, a cada valor de t que pertenece al conjunto de los números reales, le corresponde un punto de coordenadas P(x,y). Es decir, t determina un arco cuyos extremos son el punto (1,0) y el punto P(x,y).
1. Si t es positivo, el arco se describe en sentido contrario a las manecillas del reloj.
2. Si t es negativo, el arco se describe en el sentido de las manecillas del reloj.
Funciones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria
Si t pertenece a los reales, es la medida de un arco descrito en la circunferencia unitaria con extremos en los puntos (1,0) y P(x,y) se tiene que las funciones trigonométricas se definen tal con se observa en la siguiente figura:
Si la medida de un ángulo en posición normal es t radianes y el lado final del ángulo contiene al punto P(x,y) que pertenece a la circunferencia unitaria, entonces:
y = sen t; x = cos t
Signo de las funciones trigonométricas
Con base en las definiciones anteriores podemos concluir:
1. Las funciones trigonométricas toman valores iguales en ángulos coterminales.
2. El signo de las funciones trigonométricas de un ángulo dependen del cuadrante en el cual se encuentra su lado terminal.
3. Las funciones seno y coseno están definidas para todos los ángulos.
4. En al caso de las funciones tangente y secante se excluyen los ángulos cuyo lado terminal coincide con el eje Y.
5. En el caso de las funciones cotangente y cosecante se excluyen los ángulos cuyo lado terminal coincide con el eje X.
Hemos estudiado las funciones trigonométricas como funciones de ángulos. Sin embargo, para poderlas tratar en forma semejante a como hemos considerado las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, etc., es necesario que se puedan interpretar como funciones cuyo dominio sea un subconjunto de números reales.
Estas funciones trigonométricas de números reales se conocen como funciones circulares, porque se definen usando un círculo de radio 1 o círculo unitario.
Usando el círculo unitario es posible establecer una correspondencia biyectiva entre los números reales y los ángulos en posición normal medidos en radianes. De a cuerdo a lo anterior:
A cada número real t le corresponde un ángulo t rad y a cada ángulo de t rad le corresponde un número real t.
Con base en la correspondencia entre ángulos y números reales que hemos presentado, se pueden definir las funciones trigonométricas de números reales, llamadas también funciones circulares.
Funciones circulares
Si x es un número real, entonces:
sen x = sen x rad
cos x = cos x rad
tan x = tan x rad
ctan x = ctan x rad
sec x = sec x rad
csc x = csc x rad
Para cada función, su dominio es el subconjunto de los números reales para el cual la respectiva función del ángulo en radianes está definida.
Para hallar los valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora tenemos que usar el modo de radianes, RAD.
El valor de una función circular en un número real x es el valor de la función en un ángulo de x rad, siempre que ese valor exista.
Conexión con la vida
En la naturaleza existen muchos fenómenos que se repiten periódicamente. Basta pensar en el movimiento de un péndulo, el movimiento planetario, las fases lunares, la subida y bajada de la marea, y otros muchos fenómenos no evidentes cuya evolución se rige mediante funciones periódicas, como la actividad eléctrica del cerebro, la corriente alterna y las ondas electromagnéticas.
TEMA 2. Ángulos de Referencia
El valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo α se puede hallar mediante su relación con un ángulo β del primer cuadrante. El ángulo β es llamado el ángulo de referencia para α.
Definición de ángulo de referencia
Se llama ángulo de referencia de un ángulo α, al ángulo agudo β formado por el lado terminal de α y el eje X, ubicado en el primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas difieren de los de α sólo en el signo.
El valor de una función trigonométrica para un ángulo cualquiera se puede hallar usando la calculadora. Sin embargo, conocer los ángulos de referencia es muy útil cuando realizamos el proceso contrario, es decir, hallar los ángulos o números reales que corresponde a un valor de función dado.
Los ángulos de referencia nos ayudan a hallar por lo menos otro valor diferente al que nos da la calculadora y luego, sumando una o varias veces 360°, podemos encontrar muchos más.
Ángulos en el segundo cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante, el ángulo de referencia es (180° - α), en radianes (π - α). Y se cumple:
sen α = sen (180° - α)
cos α = - cos (180° - α)
tan α = - tan (180° - α)
Ángulos en el tercer cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es (α - 180°), en radianes (α - π). Y se cumple:
cos α = - cos (α - 180°)
tan α = tan (α - 180°)
Ángulos en el cuarto cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es (360° - α), en radianes (2π - α). Y se cumple:
tan α = - tan (360° - α)
Conexión con la vida
En la naturaleza existen muchos fenómenos que se repiten periódicamente. Basta pensar en el movimiento de un péndulo, el movimiento planetario, las fases lunares, la subida y bajada de la marea, y otros muchos fenómenos no evidentes cuya evolución se rige mediante funciones periódicas, como la actividad eléctrica del cerebro, la corriente alterna y las ondas electromagnéticas.
TEMA 2. Ángulos de Referencia
El valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo α se puede hallar mediante su relación con un ángulo β del primer cuadrante. El ángulo β es llamado el ángulo de referencia para α.
Definición de ángulo de referencia
Se llama ángulo de referencia de un ángulo α, al ángulo agudo β formado por el lado terminal de α y el eje X, ubicado en el primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas difieren de los de α sólo en el signo.
El valor de una función trigonométrica para un ángulo cualquiera se puede hallar usando la calculadora. Sin embargo, conocer los ángulos de referencia es muy útil cuando realizamos el proceso contrario, es decir, hallar los ángulos o números reales que corresponde a un valor de función dado.
Los ángulos de referencia nos ayudan a hallar por lo menos otro valor diferente al que nos da la calculadora y luego, sumando una o varias veces 360°, podemos encontrar muchos más.
Ángulos en el segundo cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante, el ángulo de referencia es (180° - α), en radianes (π - α). Y se cumple:
sen α = sen (180° - α)
cos α = - cos (180° - α)
tan α = - tan (180° - α)
Ángulos en el tercer cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es (α - 180°), en radianes (α - π). Y se cumple:
cos α = - cos (α - 180°)
tan α = tan (α - 180°)
Ángulos en el cuarto cuadrante
Si α es un ángulo cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es (360° - α), en radianes (2π - α). Y se cumple:
tan α = - tan (360° - α)
Muy Buena Información Sobre las Funciones Circulares.. Espero y Sigas Haci.. ;)
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