UNIDAD 3. Identidades y Ecuaciones Trigonométricas

TEMA 1. Identidades Trigonométricas

1. Definición

Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es verdadera para todos los valores de la variable o las variables que se involucran. Por ejemplo, las igualdades x² + 2x + 1 = (x + 1)² y (x – y)(x + y) = x² – y² son identidades, pues se cumplen para cualquier valor de las variables x e y.

Una identidad que involucra funciones trigonométricas se denomina identidad trigonométrica.

2. Identidades fundamentales 

Se llaman identidades fundamentales a las que se deducen directamente de las definiciones. Estas identidades se utilizan para transformar unas expresiones en otras, lo cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. A este grupo de identidades pertenecen:

a. Relaciones recíprocas

Las relaciones recíprocas de las funciones trigonométricas se deducen a partir de las definiciones de dichas funciones en el plano cartesiano.

b. Relaciones que son por razón de dos funciones

A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para el ángulo en posición normal se tiene que:

c.  Relaciones pitagóricas

Las relaciones o identidades pitagóricas son tres:

3. Simplificación de expresiones trigonométricas 

Las identidades trigonométricas se utilizan para simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas y encontrar expresiones equivalentes. Para realizar la simplificación se utilizan los procedimientos algebraicos.

Aunque no existe un método general que se aplique en los casos de simplificación de expresiones trigonométricas, en algunos casos resulta útil escribir todas las funciones trigonométricas involucradas en términos de una sola función.

4. Demostración de una identidad

A partir de las identidades trigonométricas fundamentales se pueden deducir algunas que son más complejas.

El método de demostración de una identidad consiste en mostrar que uno de los miembros de una igualdad es igual al otro.

Para ello se sugiere la siguiente secuencia de pasos:

1. Transformar el miembro más complejo de la igualdad en el miembro más simple, haciendo uso de las identidades fundamentales.

2. De ser posible expresar las funciones trigonométricas que aparecen en la igualdad en términos de las funciones seno y coseno.

3. Realizar las operaciones algebraicas para simplificar las expresiones.

TEMA 2. Ecuaciones Trigonométricas

1. Introducción
En ocasiones se presentan ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Por ejemplo, 2sen x - 1 = 0, es una ecuación trigonométrica. En general, las ecuaciones que involucran funciones trigonométricas se resuelven mediante los métodos utilizados para resolver ecuaciones algebraicas.

2. Ideas preliminares
Como se ha estudiado, una identidad es una igualdad que incluye variables y se cumple para cualquier valor de dichas variables, en tanto que, una ecuación es una igualdad que incluye variables y sólo es cierta para algunos valores de las variables. Las soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad. Así, resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.

Para resolver ecuaciones se utilizan las siguientes reglas:
a) Si a dos miembros de una ecuación se le suma o resta una expresión (algebraica o numérica), se obtiene una ecuación equivalente.
b) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por el mismo número, diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente.

3. Nota
Para comprobar si un número es solución de una ecuación basta sustituir la variable por dicho número en ambos miembros y resolver las operaciones. Si en cada miembro se obtiene el mismo valor, el número reemplazado es solución de la ecuación.

4. Solución de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es de la forma ax + b = c, con a ≠ 0.

5. Solución de ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización, completando cuadrados o por medio de la fórmula cuadrática.

6. Ecuaciones trigonométricas - Definición

Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la cual intervienen funciones trigonométricas de un ángulo x y se satisface sólo para algunos valores de x.

Las soluciones de una ecuación trigonométrica son los valores del ángulo para los cuales se cumple la igualdad. Por ejemplo, una solución de la ecuación sen x - 1 = 0 es x = π/2, porque el sen π/2 - 1 = 0, puesto que sen π/2 = 1.

7. Solución de ecuaciones de la forma f(x) = k

Algunas ecuaciones trigonométricas son de la forma f(x) = k, donde f(x) es una función trigonométrica y k es una constante. Por ejemplo, tan x = 1 es de la forma f(x) = k, donde f(x) = tan x y k = 1. Este tipo de ecuaciones pueden tener infinito número de soluciones.

8. Ecuaciones trigonométricas de la forma cuadrática

Algunas ecuaciones trigonométricas tienen forma cuadrática, por tal razón para su solución se utilizan los métodos descritos para la solución de la ecuación cuadrática.

9. Ecuaciones trigonométricas con identidades

Algunas ecuaciones trigonométricas requieren la aplicación de las identidades fundamentales para su solución.

10. Ecuaciones trigonométricas con identidades para ángulos dobles y ángulos medios

Es posible plantear y resolver ecuaciones que involucran identidades para ángulos dobles y ángulos medios.

11. Ecuaciones trigonométricas con funciones inversas

Es posible plantear ecuaciones trigonométricas con funciones inversas. Para la solución de dichas ecuaciones se utilizan las definiciones y las propiedades de las funciones inversas.